Вторичное квантование

Втори́чное квантова́ние (каноническое квантование) — метод описания многочастичных квантовомеханических систем. Наиболее часто этот метод применяется для задач квантовой теории поля и в многочастичных задачах физики конденсированных сред.

Описание

Предположим, что существует классификация всех возможных состояний каждой частицы или квазичастицы в рассматриваемой системе. Обозначим состояния частицы как [math]\displaystyle{ 1, 2, 3, ... }[/math]. Тогда любое возможное состояние системы описывается набором чисел частиц (чисел заполнения) в каждом из этих состояний [math]\displaystyle{ (N_1, N_2, N_3, ...) }[/math]. Суть метода вторичного квантования в том, что вместо волновых функций частиц в координатном или в импульсном представлении вводятся волновые функции в представлении чисел заполнения различных состояний одной частицы. Достоинство метода вторичного квантования в том, что он позволяет единообразно описывать системы с различным числом частиц, как с конечным фиксированным (в задачах физики конденсированных сред), так и с переменным, потенциально бесконечным (в задачах КТП). Переходы между различными состояниями (например, из состояния [math]\displaystyle{ k }[/math] в состояние [math]\displaystyle{ q }[/math]) одной частицы при этом описываются как уменьшение числа заполнения, соответствующего одной волновой функции на единицу [math]\displaystyle{ (N_k \Rightarrow N_k-1) }[/math], и увеличение числа заполнения другого состояния на единицу [math]\displaystyle{ (N_q \Rightarrow N_q+1) }[/math]. Вероятности этих процессов зависят не только от элементарной вероятности перехода, но и от чисел заполнения, участвующих в процессе состояний.

Статистика Бозе — Эйнштейна

Для частиц, подчиняющихся статистике Бозе — Эйнштейна, вероятность перехода из состояния [math]\displaystyle{ k }[/math] в состояние [math]\displaystyle{ q }[/math] есть [math]\displaystyle{ W(k, q) = w(k, q) N_{k} (N_{q}+1) }[/math], где [math]\displaystyle{ w(k, q) }[/math] — элементарная вероятность, рассчитываемая стандартными методами квантовой механики. Операторы, изменяющие числа заполнения состояний на единицу, работают так же как операторы рождения и уничтожения в задаче об одномерном гармоническом осцилляторе:

[math]\displaystyle{ [\hat{a}_i,\hat{a}_j^{\dagger}]=\delta_{ij},\ [\hat{a}_i,\hat{a}_j]=0, }[/math]

где квадратные скобки означают коммутатор, а [math]\displaystyle{ \delta_{ij} }[/math] — символ Кронекера.

Оператор рождения по определению представляет собой матрицу с единственным отличным от нуля элементом:

[math]\displaystyle{ \left \langle N_i | a_i^{\dagger} | N_i - 1 \right \rangle = \left \langle N_i - 1 | a_i | N_i\right \rangle^{*} = \sqrt{N_i} }[/math].

Оператор рождения [math]\displaystyle{ \hat{a}_i^{\dagger} }[/math] так называется потому, что он увеличивает на 1 число частиц в i-м состоянии:

[math]\displaystyle{ \hat{a}_i^{\dagger} \Phi(N_1, N_2, ..., N_i, ...) = \sqrt{N_i+1} \Phi (N_1, N_2, ..., N_i+1, ...) }[/math]

Оператор уничтожения также является матрицей с единственным отличным от нуля элементом:

[math]\displaystyle{ \left \langle N_i - 1 | a_i | N_i \right \rangle = \sqrt{N_i} }[/math].

Оператор уничтожения [math]\displaystyle{ \hat{a}_i }[/math] так называется потому, что он уменьшает на 1 число частиц в i-м состоянии:

[math]\displaystyle{ \hat{a}_i \Phi(N_1, N_2, ..., N_i, ...) = \sqrt{N_i} \Phi (N_1, N_2, ..., N_i-1, ...) }[/math]

Статистика Ферми-Дирака

Для частиц, подчиняющихся статистике Ферми — Дирака, вероятность перехода из состояния [math]\displaystyle{ k }[/math] в состояние [math]\displaystyle{ q }[/math] есть [math]\displaystyle{ W(k, q) = w(k, q) N_{k} (1-N_{q}) }[/math], где [math]\displaystyle{ w(k, q) }[/math] — элементарная вероятность, рассчитываемая стандартными методами квантовой механики, а [math]\displaystyle{ N_{k}, N_{q} }[/math] могут принимать значения только [math]\displaystyle{ 0, 1 }[/math]. Для фермионов используются другие операторы, которые удовлетворяют антикоммутационным соотношениям:

[math]\displaystyle{ \left\{\hat{a}_i,\hat{a}_j^{\dagger}\right\}=\hat{a}_i \hat{a}_j^{\dagger}+\hat{a}_j^{\dagger}\hat{a}_i=\delta_{ij},\ \left\{\hat{a}_i,\hat{a}_j\right\}=0. }[/math]

Оператор рождения по определению представляет собой матрицу с единственным отличным от нуля элементом:

[math]\displaystyle{ \left \langle 1_i | a_i^{\dagger} | 0_i \right \rangle = \left \langle 0_i | a_i | 1_i\right \rangle^{*} = (-1)^{\sum_{k=1}^{i-1}N_k} }[/math].

Оператор рождения [math]\displaystyle{ \hat{a}_i^{\dagger} }[/math] так называется потому, что он увеличивает c 0 до 1 число частиц в i-м состоянии:

[math]\displaystyle{ \hat{a}_i^{\dagger} \Phi(N_1, N_2, ..., 0_i, ...) = \Phi (N_1, N_2, ..., 1_i, ...) }[/math]

Оператор уничтожения также является матрицей с единственным отличным от нуля элементом:

[math]\displaystyle{ \left \langle 0_i | a_i | 1_i \right \rangle = (-1)^{\sum_{k=1}^{i-1}N_k} }[/math].

Оператор уничтожения [math]\displaystyle{ \hat{a}_i }[/math] так называется потому, что он уменьшает на 1 число частиц в i-м состоянии:

[math]\displaystyle{ \hat{a}_i \Phi(N_1, N_2, ..., 1_i, ...) = \Phi (N_1, N_2, ..., 0_i, ...) }[/math]

Применения

Задачи по переходам квантовых частиц с различных состояний, физика лазеров, теория комбинационного рассеяния света, физика твердого тела, теория турбулентности жидкости, газа, плазмы.

См. также

• Нерешённые проблемы современной физики
• Алгебра Грассмана
• Операторы рождения и уничтожения

Литература

• Березин Ф. А. Метод вторичного квантования. — 2-е изд., доп. — М.: Наука, 1986. — 320 с.
• Боголюбов Н. Н., Боголюбов Н. Н. (мл.). Введение в квантовую статистическую механику. — М.: Наука, 1984. — 384 с.
• Нгуен Ван Хьеу. Основы метода вторичного квантования. — М.: Энергоатомиздат, 1984. — 208 с.
• Ю. А. Неретин. «Метод вторичного квантования» Березина. Взгляд 40 лет спустя.